写在前面
期末周到了，数字信号学的一塌糊涂，创建这个系列也是督促自己好好复习这一门课😢
$$E=mc^2$$测试一下是否支持LaTex渲染
信号与系统
本章主要负责介绍一些典型信号与系统，并分析他们的基本性质
能量与功率
对于一个离散信号 $x[n]$，其能量与功率定义为
$$\begin{aligned} E &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 \\ P &= \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \end{aligned}$$对于一个连续信号 $x(t)$，其能量与功率定义为
$$\begin{aligned} E &= \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt \\ P &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \end{aligned}$$脉冲信号 & 阶跃信号
对于离散信号，我们可以规定如下两种特殊性质的信号
脉冲信号
$$ \delta [n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} $$对于任意的信号 $x[n]$，都有 $x[n] \delta [n] = x[0]\quad x[n] \delta[n-n_0] = x[n_0]$
阶跃信号
$$u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases} $$阶跃信号可以表示为脉冲信号的累加
$$u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m] = \sum_{k = 0}^{n} \delta[n - k]$$同样对于连续信号我们也可以定义
阶跃信号
$$u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} $$脉冲信号
$$\delta(t) = \frac{d}{dt} u(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases} $$从上述表达式可以推出 $u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau$
连续信号里的脉冲信号也具有一些特殊性质
$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1\\ &x(t) \delta(t - t_0) = x(t_0) \delta(t)\\ &\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - t_0) dt = x(t_0) \end{aligned}$$系统的分类
1:无记忆系统 & 记忆系统
无记忆系统的输出仅仅与当前的输入有关，即 $y[n] = f(x[n])$ 或 $y(t) = f(x(t))$
而记忆系统的输出可能与过去或者将来的输入有关
2:因果系统 & 非因果系统
因果系统的输出仅与当前及过去的输入有关，即 $y[n] = f(x[n], x[n-1], x[n-2], ...)$ 或 $y(t) = f(x(t), x(t - \tau), x(t - 2\tau), ...)$
非因果系统的输出可能与将来的输入有关，比如 $y[n] = f(x[n+1])$ 或常见的取平均 $y(t) = \frac{1}{2M + 1}\sum_{m = -M}^{M} f(t + m\tau)$
Tips 一个非常好玩的例子$y(t) = x(t) \cdot cos(t+1)$，这个是一个因果系统😃（细品因果系统的定义就明白了）
3:可逆系统 & 不可逆系统
可逆系统是指存在一个反向系统可以将输出信号还原为输入信号，即存在 $x[n] = f^{-1}(y[n])$ 或 $x(t) = f^{-1}(y(t))$
类似函数的单射，一个简单的不可逆系统的例子为 $y(t) = x(t)^2$
4:稳定系统 & 不稳定系统
对于任意有界输入，输出也必须有界（这是稳定系统的定义）
一个不稳定系统的例子是 $y[n] = n \cdot x[n]$， 当输入 $x[n] = u[n]$ 时，输出 $y[n] = n$，显然是无界的
5:时不变系统 & 时变系统
时不变系统指的是，对于输入信号延时 $t_0$ ，输出信号也延时 $t_0$，即
$$ y(t - t_0) = f(x(t - t_0)) $$在不稳定系统中所展示的例子就是一个典型的时变系统
6:线性系统 & 非线性系统
对于一个线性系统，需要满足可加性与齐次性，可以表示为如下所示的表达式
$$\begin{aligned} & x(t) = a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t) \\ & y(t) = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t) \end{aligned}$$Tips 从可加性与齐次性可以推出一个隐藏条件：零输入必然对应零输出